BAB 2 : TEKNIK INTEGRASI

2.2 Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Rasional

A) Rangkuman Materi

1 Faktor-faktor Linear

Untuk setiap faktor dalam bentuk \(ax+b\), dekomposisi pecahan parsia mengandung jumlahan dari m pecahan parsial :

\(\frac{A_1}{a_1x+b_1} + \frac{A_2}{a_2x+b_2} + \ldots + \frac{A_m}{a_mx+b_m}\)

dengan \(A_i\) adalah konstanta yang harus ditentukan.

2 Faktor-faktor kuadratik

Untuk setiap faktor berbentuk \((ax^2 + bx + c)^m\) yang tidak dapat difaktorkan lagi, dekomposisi pecahan parsial mengandung jumlahan dari m pecahan parsial :

\(\frac{A_1x + B_1}{a_1x^2+b_1x+c_1} + \frac{A_2x + B_2}{a_2x^2+b_2x+c_2} + \ldots + \frac{A_mx + B_m}{a_mx^2+b_mx+c_m}\)

Dengan \(A_i\) dan \(B_i\) adalah konstanta yang harus ditentukan.

3 Fungsi Rasional Tak Sejati

\(\int \sin^m x \cos^n x \, dx\)	LANGKAH
m ganjil	Substitusi \(m = 2k + 1\). Substitusi \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), sehingga \(\sin^{2k} x \sin x \cos^n x\) menjadi \((1 - \cos^2 x)^k \sin x \cos^n x\). Substitusi \(u = \cos x\).
n ganjil	Substitusi \(n = 2k + 1\). Substitusi \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), sehingga \(\sin^m x \cos^{2k} x \cos x\) menjadi \(\sin^m x (1 - \sin^2 x)^k \cos x\). Substitusi \(u = \sin x\).
m dan n genap	Substitusi \(\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)\) dan \(\cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\). Ingat \((1 - \cos 2x)(1 + \cos 2x) = 1 - \cos^2 2x\).

Fungsi rasional tak sejati adalah fungsi yang memiliki derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut. Untuk mengintegrasikan fungsi rasional tak sejati, kita perlu melakukan pembagian polinomial terlebih dahulu, sehingga integralnya menjadi kombinasi dari integral fungsi rasional sejati dan fungsi trigonometri.

4 Faktor Polinomial

Teorema Faktor
Jika diberikan polinomial \(P(x)\) dan r adalah akar dari polinomial tersebut, maka \(P(x)=0\), maka \(x-r\) adalah faktor dari \(P(x)\).

B) Contoh Soal

1. Soal ETS 2021
Selesaikan

\(\int \frac{4x-1}{2x^3-x^2} dx\)

Pembahasan:
Perhatikan bahwa \(2x^3-x^2 =x^2(2x-1)\), sehingga dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

\(\frac{4x-1}{2x^3-x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x^2}\) ...(1)

Kalikan persamaan dengan \(2x^3-x^2\) diperoleh:

\(4x-1 = Ax(2x-1) + B(2x-1) + C(x^2)\)

\(= 2Ax^2 - Ax + 2Bx - B + Cx^2\)

\(= (2A+C)x^2 + (-A+2B)x - B\)

Selanjutnya, kita dapat menyamakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(2A+C = 0 ↔ C=4\)

\(-A+2B = 4 ↔ A=-2\)

\(-B = -1 ↔ B=1\)

Sehingga, kita mendapatkan:

\(\int \frac{4x-1}{2x^3-x^2} dx = \int \left(\frac{-2}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^2}\right) dx\)

\(= -2\ln|x| - \frac{1}{x} + 4\int \frac{1}{x^2} dx\)

\(= -2\ln|x| - \frac{1}{x} +4\left(\frac{1}{2}\ln(2x-1)\right)\)

\(= -2\ln|x| - \frac{1}{x} + 2\ln(2x-1) + C\)

2. Soal Kuis
Selesaikan

\(\frac{x}{-6x^2+20x-16} dx \)

Pembahasan:
Perhatikan bahwa \(-6x^2+20x-16 = (3x-4)(4-2x)\), sehingga dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

\(\frac{x}{-6x^2+20x-16} = \frac{A}{3x-4} + \frac{B}{4-2x}...(1)\)

Kalikan persamaan (1) dengan \(3x-4)(4-2x)\) diperoleh:

\(x = A(4-2x) + B(3x-4)\)

\(= 4A - 2Ax + 3Bx - 4B\)

\(= (-2A+3B)x + (4A-4B)\)

Selanjutnya samakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(4A-4B = 0 ↔ A=B\)

\(-2A+3B = 1 ↔ -2A+3A=A=1=B\)

Dengan demikian, integral yang diberikan dapat ditulis sebagai:

\(\int \frac{x}{-6x^2+20x-16} dx = \int \left(\frac{1}{3x-4} + \frac{1}{4-2x}\right) dx\)

\(\int \frac{1}{3x-4} dx + \int {1}{4-2x} dx \)

\(= \frac{1}{3}\ln|3x-4| - \frac{1}{2}\ln|4-2x| + C\)

Tambahan:
Cara menyelesaikan \(\int \frac{1}{3x-4}dx\) dan \(\int \frac{1}{4-2x}dx\)
(a) Misalkan \(u = 3x-4\), sehingga \(du = 3dx\) ↔ \(\frac{1}{3}du = dx\)

\(\int \frac{1}{3x-4}dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3}du\)

=\(\frac{1}{3}\ln|u| + C\)

=\(\frac{1}{3}\ln|3x-4| + C\)

(b) Misalkan \(u = 4-2x\), sehingga \(du = -2dx\) ↔ \(-\frac{1}{2}du = dx\)

\(\int \frac{1}{4-2x}dx = \int \frac{1}{u} \cdot -\frac{1}{2}du\)

=\(-\frac{1}{2}\ln|u| + C\)

=\(-\frac{1}{2}\ln|4-2x| + C\)

3. Soal Kuis
Selesaikan integral berikut

\(\int \frac{x^4+9}{x^3+9x} dx\)

Pembahasan: Integran merupakan fungsi rasional tak sejati. Anda dapat melakukan cara porogapit atau pembagian biasa.

\(\frac{x^4+9}{x^3+9x} = \frac{x^4+9x^2-9x^2+9}{x^3+9x}\)

\(= x - \frac{9x^2-9}{x^3+9x}\)

\(\frac{x^4+9}{x^3+9x} = \int (x - \frac{9x^2-9}{x^3+9x}) dx\)

\(= \int x dx - 9\int \frac{x^2-1}{x^3+9x} dx\)

\(= \frac{x^2}{2} - 9\int \frac{x^2-1}{x(x^2+9)} dx\)

Selanjutnya, \(\int \frac{x^2-1}{x(x^2+9)} dx\) dapat diselesaikan dengan dekomposisi pecahan parsial. Perhatikan bahwa \(\frac{x^2-1}{x(x^2+9)}\) dapat ditulis sebagai:

\(\frac{x^2-1}{x(x^2+9)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+9}\)

Kalikan persamaan dengan \(x(x^2+9)\) diperoleh:

\(-9x^2+9 = A(x^2+9) + (Bx+C)x\)

\(= Ax^2 + 9A + Bx^2 + Cx\)

\(= (A+B)x^2 + Cx + 9A\)

Selanjutnya kita dapat menyamakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(A+B = -9 ↔ B=-9-A\)

\(C = 0\)

\(9A = 9 ↔ A=1\)

Sehingga, kita mendapatkan:

\(\int \frac{x^4-9}{x(x^2+9)} dx = \frac{1}{2}x^2 + \int \left(\frac{1}{x} + \frac{-10x}{x^2+9}\right) dx\)

\(= \frac{1}{2}x^2 + \ln|x| - 5\ln(x^2+9) + C\)

C) Latihan Soal

1. Soal ETS 2024
Hitung integral

\(\int \frac{2x^2-2x-1}{x^2+x^3} dx\)

Hint 1: Faktorkan penyebutnya
Hint 2: Gunakan aturan faktor linear

Pembahasan

Perhatikan bahwa \(x^2+x^3 = x^2(1+x)\), sehingga dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

\(\frac{2x^2-2x-1}{x^2+x^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x} + \frac{C}{x^2}\)

Kalikan persamaan dengan \(x^2+x^3\) diperoleh:

\(2x^2-2x-1 = Ax(1+x) + B(1+x) + Cx^2\)

\(= Ax + Ax^2 + B + Bx + Cx^2\)

\(= (A+C)x^2 + (A+B)x + B\)

Selanjutnya, kita dapat menyamakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(A+C = 2 ↔ C=2-A\)

\(A+B = -2 ↔ B=-2-A\)

\(B = -1\)

\(A = 0\)

\(C = 2\)

Dengan demikian, kita mendapatkan:

\(\int \frac{2x^2-2x-1}{x^2+x^3} dx = \int \left(\frac{-1}{x} + \frac{-1}{x^2} + \frac{3}{1+x}\right) dx\)

\(= \int (\left(\frac{-1}{x} + \frac{-1}{x^2} dx + 3\int \frac{1}{1+x}\right) dx\)

\(= \int \left(\frac{-1}{x} + x^{-2} \right) dx + 3\ln|1+x| + C\)

\(= -\ln|x| + \frac{1}{x} + 3\ln|1+x| + C\)

2. Hitung integral \(\int \frac{x-4} {x^3-x^2+2x} dx\)

Pembahasan

Perhatikan bahwa \(x^3-x^2+2x = x(x^2-x+2)\), sehingga dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

\(\frac{x-4}{x^3-x^2+2x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-x+2}\)

Kalikan persamaan dengan \(x^3-x^2+2x\) diperoleh:

\(x-4 = A(x^2-x+2) + (Bx+C)x\)

\(= Ax^2 - Ax + 2A + Bx^2 + Cx\)

\(= (A+B)x^2 + (-A+C)x + 2A\)

Selanjutnya, kita dapat menyamakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(2A = -4 ↔ A=-2\)

\(-A+C = 1 ↔ C=-1\)

\(A+B = 0 ↔ B=2\)

Sehingga, kita mendapatkan:

\(\int \frac{x-4}{x^3-x^2+2x} dx = \int \left(\frac{-2}{x} + \frac{-2x+1}{x^2-x+2}\right) dx\)

\(= -2\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{-2x+1}{x^2-x+2} dx\)

\(= -2\ln|x| -2\int \frac{x-1}{x^2-x+2} dx\)

\(= -2\ln|x| -2\left(\frac{1}{2}\ln|x^2-x+2| + C\right)\)

\(= -2\ln|x| -\ln|x^2-x+2| + C\)

3. Hitung integral

\(\int \frac{t^3+t^2-t+1}{t^3+t^2} dt\)

Hint 1: Integran merupakan fungsi rasional tak sejati. Anda dapat melakukan cara porogapit atau pembagian biasa.

Pembahasan:

\(t^3+4t^2-t+1 = (t^3+t^2) + 3t^2-t+1\)

\(\frac{t^3+4t^2-t+1}{t^3+t^2}= \frac{t^3+t^2}{t^3+t^2} + \frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2}\)

\(= 1 + \frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2}\)

\(\int \frac{t^3+t^2-t+1}{t^3+t^2}dt = \int (1+\frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2}) dt\)

\(= \int dt + \int \frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2} dt\)

\(= t + \int \frac{3t^2-t+1}{t^2(t+1)} dt\)

\(= t + \int \frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2} dt\)

Dekomposisi pecahan parsial dari \(\frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2}\) adalah:

\(\frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{t^2}\)

Kalikan persamaan dengan \(t^3+t^2\) diperoleh:

\(\frac{3t^2-t+1}{t^3+t^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t+1}\)

Kalikan persamaan dengan \(t^3+t^2\) diperoleh:

\(3t^2-t+1 = A(t^2+t) + B(t+1) + Ct^2\)

\(= At^2 + At + Bt + B + Ct^2\)

\(= (A+C)t^2 + (A+B)t + B\)

Selanjutnya, kita dapat menyamakan koefisien dari kedua sisi persamaan:

\(B=1 \)

\(A+B = -1 ↔ A=-2\)

\(A+C = 3 ↔ C=5\)

Dengan demikian, kita mendapatkan:

\(\int \frac{t^3+t^2-t+1}{t^3+t^2} dt = t + \int \left(\frac{-2}{t} + \frac{1}{t+1} + \frac{5}{t^2}\right) dt\)

\(= t - 2\ln|t| + \ln|t+1| - \frac{5}{t} + C\)